原子核物理笔记（二）：放射性

放射性 是指某元素的放射性同位素从不稳定的原子核自发地放出射线而衰变形成另一种同位素（衰变产物）。

贝克勒尔（H.Becquerel）在研究铀矿的荧光现象时，发现铀矿物能够发射出穿透力很强并能使照相片底感光的不可见的射线。在磁场中研究中发现，这种射线具有三种成分：

$\alpha$ 射线
高速运动的 $\alpha$ 粒子（氦核）。电离作用大，贯穿本领小。
$\beta$ 射线
高度运动的电子，电离作用较小，贯穿本领较大。
$\gamma$ 射线
高频光子，电离作用小，贯穿本领大。

这些射线都是由原子核的衰变产生的，我们接下来对衰变的种类与性质进行讨论。

放射性衰变的基本规律

放射性衰变的种类

$\alpha$ 放射性
$\alpha$ 衰变
放出带正电的氦核

$\mathrm{^A_ZX}\rightarrow \mathrm{_{Z-2}^{A-4}Y} + \mathrm{^4_2He}$
$\beta$ 放射性
- $\beta$ 衰变
  放出电子
  $\mathrm{^A_ZX}\rightarrow \mathrm{_{Z+1}^{A}Y} + \mathrm{e^-}$
- $\beta^+$ 衰变
  放出正电子
  $\mathrm{^A_ZX}\rightarrow \mathrm{_{Z-1}^{A}Y} + \mathrm{e^+}$
- 轨道电子俘获 Electron capture
  内层电子被原子核俘获
  $\mathrm{^A_ZX}+ \mathrm{e^-}\rightarrow \mathrm{_{Z-1}^{A}Y}$
$\gamma$ 放射性
$\gamma$ 跃迁（来自与核子内部能级的跃迁）

放射性衰变的规律

实验表明，任何放射性物质服从 衰变规律。核的放射性几乎不受任何核外因素影响。

数学表达式为：

\frac{dN}{dt} = -\lambda N

得到放射性原子核数量随时间变化关系：

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

放射性衰变规律是很好理解的。不妨设放射前后原子核的量子态为 $|\psi\rangle,|\phi\rangle$ ，相互作用能量为 $V$ ，那么跃迁矩阵元 $\langle \phi|V|\psi\rangle$ 完全确定了单个原子核衰变的概率。由于核力远远大于外部作用，因此原子核的衰变仅仅与原子核结构有关，与外界环境无关。对于大量粒子组成的体系来说，自然服从指数衰变规律。

上述两式中， $\lambda$ 为 衰变常量。我们还用以下量来表征衰变：

放射性活度
当前时刻的衰变速率。

A \equiv - \frac{dN}{dt} =\lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}

一般采用如下单位来表示放射性活度：

$\mathrm{Ci}$ 居里

$1 \mathrm{Ci} = 3.7\times 10^{10} s^{-1}$

$\mathrm{Bq}$ 贝克勒尔

$1 \mathrm{Bq} = 1\mathrm{s}^{-1}$

比活度：单位质量放射源的放射性活度。
半衰期
一般放射性原子核衰变所需要的时间。

T_{1/2} = \frac{\mathrm{ln}2}{\lambda}

平均寿命
放射性原子核平均生存时间。

\tau = \frac{1}{\lambda}

递次衰变规律

原子核的衰变往往是一代又一代地连续进行，直至最后达到稳定。这种衰变叫做 递次衰变 或 连续衰变。下图展示了钍系原子的衰变 $^{[2]}$ ：

单种原子核仍然满足衰变规律，但对于递次衰变，某种核素不仅有衰变减少，还有可能由其他的核素衰变生成。

现在考虑一个简单的递次衰变： $A\rightarrow B\rightarrow C$
假设 $A,B$ 衰变常量为 $\lambda_1,\lambda_2$ ， $C$ 稳定，不考虑衰变。初始时存在 $N$ 个 $A$ 原子核。
得到原子核数量随时间变化关系：

\left\{\begin{aligned} & \frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1 \\ & \frac{dN_2}{dt} = \lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2 \\ & \frac{dN_3}{dt} = \lambda_2 N_2\\ \end{aligned}\right.

解得：

\begin{aligned} & N_1 = N e^{-\lambda_1 t} \\ & N_2 = \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t} ) \\ & N_3 = \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}N[ \frac{1}{\lambda_1}(1-e^{-\lambda_1 t}) - \frac{1}{\lambda_2}(1-e^{-\lambda_2 t}) ] \end{aligned}

若考虑 $\lambda_3$ 的衰变，可以得到：

N_3 = N (h_1e^{-\lambda_1t} + h_2e^{-\lambda_2t} + h_3e^{-\lambda_3t})

其中：

\begin{aligned} h_1 &= \frac{\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_1)} \\ h_2 &= \frac{\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_2)} \\ h_3 &= \frac{\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_3)} \\ \end{aligned}

对于递次衰变序列： $A_1\rightarrow A_2\rightarrow A_3\rightarrow \cdots \rightarrow A_n\rightarrow\cdots$
可以得到核素 $A_n$ 的数量时间关系：

N_n(t) = N\sum_{i=1}^{n}h_ie^{-\lambda_i t},\quad h_i = \frac{\prod_{j=1}^{n-1}\lambda_j}{\prod_{j\neq i}^{n}(\lambda_j-\lambda_i)}

放射性平衡

现在讨论在 递次衰变 中可能出现的平衡情况。对于递次衰变 $A\rightarrow B\rightarrow C$ ，母体 $A$ 的衰变服从指数规律，我们现在关心 $B$ 的衰变情况。

暂时平衡
母体的半衰期比子体的半衰期长， $\lambda_1<\lambda_2$ 。在观察时间内可以看出母体放射性的变化，最终母体与子体数量成固定比例，此后子体与母体的半衰期相同。
长期平衡
母体的半衰期远远长于子体的半衰期， $\lambda_1\ll\lambda_2$ 。在观察时间内母体放射性无变化，最子体的放射性也不会变化。
不成平衡
母体的半衰期小于子体的半衰期， $\lambda_1>\lambda_2$ 。母体的放射性迅速衰减，子体的放射性先增大后减少，最终按照自身的衰变规律进行。

放射系
递次衰变系列通称为放射系。地壳中存在的一些重的放射性核素形成三个天然放射系，由于其中大多数核素具有 $\alpha$ 放射性，少部分具有 $\beta$ 放射性，同一放射系核素的质量数相差4的整数倍。因此可以记做 $4n+a$ 的形式。
三个天然放射系为：

钍系 $4n$
铀系 $4n+2$
锕系 $4n+3$

人工放射系：

镎系 $4n+1$

镎系半衰期比地球年龄小很多，由此大部分镎系元素都衰变成了 $\mathrm{^{209}_{83}Bi}$ ，这可以解释为什么自然界中不存在镎系。

放射性的生长

在目前所知的2000多种核素中，绝大多数是人工制造的。人工放射性核素有以下制备途径：

通过 反应堆 制备：

产量大，成本低。产物为丰中子核素，具有 $\beta^{-}$ 放射性。
- 利用强中子流来照射靶核，靶核俘获中子生成放射性核
- 利用中子引起重核裂变，从裂变碎片中提取放射性核素
通过 加速器 制备

产物往往为缺中子核，具有 $\beta^{+}$ 衰变或 EC，寿命较短。
- 带电粒子的核反应