张量
多重线性映射
回想单重线性映射:线性空间 X 上的线性映射就是 X∗ 中的向量,即这些线性映射也构成一个线性空间。现在考虑双线性映射以及多重线性映射,这些映射是否也构成一个线性空间呢?
双线性映射 (bilinear mapping)
设 X,Y 和 Z 为域 K 上的三个线性空间。若映射 f:X×Y→Z 满足:
∀x1,x2,x∈X, ∀y1,y2,y∈Y, ∀λ1,λ2∈Kf(λ1x1+λ2x2,y)=λ1f(x1,y)+λ2f(x2,y)f(x,λ1y1+λ2y2)=λ1f(x,y1)+λ2f(x,y2)
则称 f 是一个由 X×Y 到 Z 的双线性映射。
双线性映射 f 对于 X 或 Y 中的元素分别是线性的。所有这样的双线性映射形成的集合可以表示为 L(2)(X,Y;Z)。
多重线性映射 (multilinear linear)
类似于双线性映射,可以定义如下的 r-重线性映射:
f:X1×X2×⋯×Xr→Z
其中 Xi(i=1,⋯,r) 是 r 个线性空间。f 对于每一个 Xi 中的元素都是线性的。同样,所有的 r-重线性映射的集合可以表示为:
L(r)(X1,⋅⋅⋅,Xr;Z)
类似于通常的(单重)线性映射的空间 L(1)(X;Z),我们可以在 L(r)(X1,⋅⋅⋅,Xr;Z) 中引入线性结构:
(f+g)(x1,⋅⋅⋅,xr)=f(x1,⋅⋅⋅,xr)+g(x1,⋅⋅⋅,xr)(λf)(x1,⋅⋅⋅,xr)=λf(x1,⋅⋅⋅,xr)
使得 L(r)(X1,⋅⋅⋅,Xr;Z) 成为一个线性空间。
之后提到的张量在本质上就是一个多重线性映射。
张量积
线性空间的张量积
设 X,Y,W 是数域 K 上的三个线性空间。μ:X×Y→W 是一个双线性映射。若对任意的 K 上的线性空间 Z 和任意的双线性映射 f,都存在唯一的线性映射 g:W→Z 使得:
f=g∘μ
那么 W 就称为是 X 和 Y 的 张量积 ,其中 μ 称为张量积映射。它把两个线性空间的卡氏积变成它们的张量积。
定理:张量积的存在性和唯一性
设 X,Y 是数域 K 上的两个线性空间。则它们的张量积存在,而且在同构的意义下是唯一的。
接下来我们来构造 线性函数的“张量积”,并且这个张量积空间在同构意义下是唯一的:
设 x∗∈X∗,y∗∈Y∗ 分别是 X 和 Y 上的线性函数,我们可以定义它们的 张量积,记为 x∗⊗y∗,其定义如下:
(x∗⊗y∗)(x′,y′)=⟨x′,x∗⟩⟨y′,y∗⟩=x∗(x′)y∗(y′),∀x′∈X, ∀y′∈Y
其中 ⟨x′,x∗⟩ 为 配合,将线性空间 X 与其对偶空间 X∗ 放在对等的地位:
⟨x′,x∗⟩=x′(x∗)=x∗(x′)
可以看出 x∗⊗y∗ 是 X×Y 上的双线性函数(由定义容易证明)。即我们有:
x∗⊗y∗∈L(2)(X,Y;K)
可以很好类比得到 对偶空间的张量积:X∗⊗Y∗ 是由所有形如 x∗⊗y∗ 的元素张成(线性组合)的线性空间。
注意并非所有 X∗⊗Y∗ 中的元素可以写为 x∗⊗y∗ 的形式(如量子力学中的纠缠态)。
这个空间中元素的一般形式为:
Ciαe∗i⊗h∗α
其中 {e∗i,i=1,⋅⋅⋅,n} 和 {h∗α,α=1,⋅⋅⋅,m} 分别是 X∗ 和 Y∗ 中的基(即 X 和 Y 的基底 {ei} 和 {hα} 的对偶基)。
若系数 Ciα 可写成 Ciα=aibα 的形式,则该元素可写成 x∗⊗y∗ 的形式,我们称其为 可分解的。
由于 {e∗i⊗h∗α,i=1,⋅⋅⋅,n,α=1,⋅⋅⋅,m} 是线性独立的,不难得到它们是完备的,构成 X∗⊗Y∗ 的一组基底。故有:
dim(X∗⊗Y∗)=nm
定理
设 X,Y 是两个线性空间,则:
X∗⊗Y∗=L(2)(X,Y;K)
由 X∗⊗Y∗ 中的元素均为双重线性映射可知。
考虑到 X 与 X∗ 互为对偶,因此可以定义 X 与 Y 的张量积并有:
X⊗Y=L(2)(X∗,Y∗;K)
可以得到 X⊗Y 与 X∗⊗Y∗ 是互为对偶的。
容易看出张量积 ⊗ 对其左右两个因子都是线性的。因此它定义了一个双线性映射,即 张量积映射:
μ:X×Y→L(2)(X∗,Y∗;K)(x,y)↦x⊗y
以上我们首先定义了线性空间的张量积,并且指出其在同构意义下是唯一的。由此我们通过线性函数的张量积来构造张量积空间。以下,我们拓展到多重线性函数的情况。
多重线性函数的张量积
设 x 和 y 分别是 r-重线性函数和 s-重线性函数,即:
x∈L(r)(X1,⋅⋅⋅,Xr;K)y∈L(s)(Y1,⋅⋅⋅,Ys;K)
它们的张量积定义为:
x⊗y(u1,⋅⋅⋅,ur;v1,⋅⋅⋅,vs)=x(u1,⋅⋅⋅,ur)y(v1,⋅⋅⋅,vs)∀ui∈Xi, i=1,⋅⋅⋅,r∀vj∈Yj, j=1,⋅⋅⋅,s
多重线性函数的张量积仍是一个多重线性函数,即 x⊗y 是一个 (r+s)-重线性函数:
x⊗y:X1×⋅⋅⋅×Xr×Y1×⋅⋅⋅Ys→K
多重线性函数的张量积满足 结合律,即:
(x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z)
其中 x,y 和 z 是三个多重线性函数。我们可以无歧义的将三个多重线性函数的张量积写为:
x⊗y⊗z
同理,我们也可以定义任意有限个线性空间的张量积。
张量
我们通常遇到的线性空间的张量积为如下形式:
Xsr=rX⊗⋅⋅⋅⊗X⊗sX∗⊗⋅⋅⋅⊗X∗
即 r 个 X 和 s 个 X∗ 作张量积,其中 X∗ 是 X 的对偶空间。
注意:这里为了书写简单我们将 Xsr 中的 X 和 X∗ 放在一起了,实际情况它们的顺序并不固定。由于书写方法的限制当然会出现一些问题,如 X12 可以表示:
X⊗X⊗X∗X⊗X∗⊗XX∗⊗X⊗X
线性空间 Xsr 的元素,称为 (r,s)-型张量。r 称为张量的 逆变阶数,s 称为 协变阶数。
一些特殊情况
X00=KX01=XX10=X∗X0r=rX⊗⋯⊗XXs0=sX∗⊗⋯⊗X∗
张量空间 Xsr 的维数为:
dim(Xsr)=(dim(X))r+s
张量实质上是一种 特殊 的多重线性函数,相应构成的张量空间可以写为:
Xsr=L(r+s)(rX∗,⋯,X∗,sX,⋯,X;K)=L(1)(rX∗⊗⋯⊗X∗⊗sX⊗⋯⊗X;K)
对于张量,我们也具有多种角度进行观察。例如,张量 X11=L(2)(X,X∗;K) 有三种看法:
- X×X∗→K 的双线性函数 L(2)(⋅,⋅;K)
- X→X∗ 的线性函数 L(2)(⋅,X∗;K)
- X∗→X 的线性函数 L(2)(X,⋅;K)
张量在基底下的表示
设 x∈Xsr,则我们可以将其表示为:
x=xj1⋅⋅⋅jsi1⋅⋅⋅irei1⊗⋯⊗eir⊗e∗j1⊗⋯⊗e∗js
其中
xj1⋅⋅⋅jsi1⋅⋅⋅ir∈K
称为张量 x 在基底
{ei1⊗⋯⊗eir⊗e∗j1⊗⋯⊗e∗js}
下的系数。
考虑 X 中基的变换:
ei→e~i=Ai kek
则对偶基的变换为:
e∗i→e~∗i=(A−1)k ie∗k
系数 xj1⋅⋅⋅jsi1⋅⋅⋅ir 的变换法则为:
xj1⋅⋅⋅jsi1⋅⋅⋅ir=x~l1⋅⋅⋅lsk1⋅⋅⋅krAk1 i1⋯Akr ir(A−1)j1 l1⋯(A−1)jr lr
注意张量并不依赖于基底,在基的变换下不变。
张量的缩并
缩并 (contraction) 是一个将 (r,s)-型张量变成一个 (r−1,s−1)-型张量的映射,即:
C:Xsr→Xs−1r−1
设 1⩽l⩽s,1⩽m⩽s,张量 x∈Xsr,那么 C(x)∈Xs−1r−1,对应的缩并运算定义为:
=Cl m(x)(f1,⋅⋅⋅,fr−1,u1,⋅⋅⋅,us−1)δi jx(f1,⋅⋅⋅,fm−1,e∗i,fm⋅⋅⋅fr−1,u1,⋅⋅⋅,ul−1,ej,ul,⋅⋅⋅us−1)
其中
fi∈X∗,i=1,⋅⋅⋅,r−1;uj∈X,j=1,⋅⋅⋅,s−1
用分量表示为:
===δi jx(f1,⋅⋅⋅,fm−1,e∗i,fm⋅⋅⋅fr−1,u1,⋅⋅⋅,ul−1,ej,ul,⋅⋅⋅us−1)x j1⋯jl−1tjl⋯js−1i1⋯im−1kim⋯ir−1δi j[ei1⊗⋯⊗eim−1⊗ek⊗em⊗⋯⊗eir−1⊗e∗j1⊗⋯⊗e∗jl−1⊗e∗t⊗e∗jl⊗⋯⊗e∗js−1(f1,⋅⋅⋅,fm−1,e∗i,fm⋅⋅⋅fr−1,u1,⋅⋅⋅,ul−1,ej,ul,⋅⋅⋅us−1)]x j1⋯jl−1tjl⋯js−1i1⋯im−1kim⋯ir−1[ei1⊗⋯⊗eir−1⊗e∗j1⊗⋯⊗e∗js−1(f1,⋯,fr−1,u1,⋯,us−1)]δi j⟨ek,e∗i⟩⟨ej,e∗t⟩x j1⋯jl−1jjl⋯js−1i1⋯im−1iim⋯ir−1δi j[ei1⊗⋯⊗eir−1⊗e∗j1⊗⋯⊗e∗js−1(f1,⋯,fr−1,u1,⋯,us−1)]
因此做缩并运算后的分量可以表示为:
(Clm(x)) j1⋯js−1i1⋯ir−1=δi jx j1⋯jl−1jjl⋯js−1i1⋯im−1iim⋯ir−1
例
对于 (1,1) 型张量:x=x jiei⊗e∗j,缩并为:
C1 1(x)=x ii
抽象指标
张量的抽象指标表示是一种在张量上附加指标的一种表示。
例如:对前面的 (r,s)-型张量 x,我们可以将其表示为:
xb1⋯bsa1⋯ar
指标反映出张量的类型,但并不要求选取某个基底。它不代表 x 在某个基底下的分量。
例如: 张量类型 x cdab e,它是一个多重线性映射:
x:X∗×X∗×X×X×X∗→K
需要指出的是:指标反映类型即可,但在张量的运算或方程中,我们需要考虑到 指标的平衡。
我们将上下同时出现的求和指标称为 哑标,哑标符号的选取是任意的。对于非哑标,要求指标平衡,这体现在:
- 等式左右出现的指标相同
- 相同指标的类型相同(上下位置相同)
利用抽象指标,一些张量运算可以很容易的表示。
- 张量积的抽象指标
两个张量的张量积 x⊗y 可表示为
xb1⋯bsa1⋯ar⊗y bs+1⋯bs+qar+1⋯ar+p
或者将张量积符号省去为:
xb1⋯bsa1⋯ary bs+1⋯bs+qar+1⋯ar+p
指标反映张量积的可交换性。通常来说 x⊗y=y⊗x。在抽象指标表示下,x⊗y 的交换性体现在指标是否可交换上。
- 基底的抽象指标形式
设 {ei} 为 X 的一组基,{e∗i} 为对偶基。则 ei 是逆变矢量,e∗i 是协变矢量。用抽象指标形式表示为:
(ei)a,(e∗i)a
(Clm(x))b1⋯bl−1bl⋯bs−1a1⋯am−1am⋯ar−1=x b1⋯bl−1abl⋯bs−1a1⋯am−1aam⋯ar−1
一个张量对矢量或对偶矢量的作用等价于它们做完 张量积 后再做 缩并运算。
我们来介绍一个特殊的张量。在选取基底后,它可以表示为:
δ=δ jiei⊗e∗j
它表示 X 到 X 的恒等线性映射(变换)。用抽象指标可表示为:
δ ba=δ ji(ei)a(e∗j)b
具有如下性质:
δ baub=ua
因此 δ ba 的一个作用是替换张量指标。