理论力学笔记（三）：达朗贝尔原理

达朗贝尔原理

前两篇，我们讨论的系统为自由质点以及自由质点所组成的质点组。我们考虑了所有的外力和相互作用力，得到了动力学方程。但有时候我们只关注这些力作用的结果，而不在意这些力具体的数值。

例如：两质点 $A$ 由 $B$ 一个 刚性轻杆 连接。刚性指杆不发生形变，长度固定；轻杆则不用考虑其质量。为了求解质点组的运动，有两种方法：

考虑杆的弹力，列出牛顿动力学方程。
认为两质点的位置存在一定的约束关系，这里指质点间距离固定。不考虑弹力，在约束关系下求解。

其中第二种方法就与本篇所讲述的达朗贝尔原理相契合。我们以下首先介绍约束的一般理论。

约束

一个质点或质点系在空间中运动时，系统的状态可以由系统内质点的位矢 $\bm{r}_i$ 和速度 $\bm{v}_i$ 确定。很多时候，并不是所有可能的位矢、速度都是被允许的。我们称这种对位矢、速度的限制为约束。如果一个系统不受约束，我们称其为 自由的。当存在一个或多个约束时，我们称这个系统是 非自由的 $^{[1]}$ 。

举例：

一个在 $xOy$ 平面内运动的质点，约束为 $z=0$ 。

一个在球内的质点，约束为 $x^2+y^2+z^2< R^2$

一般情况下约束可以用关系式 $f(\bm{r}_i,\bm{v}_i,t)$ 给出。
现在对约束做一些分类：

按照 $f$ $f$ 的类型：
- 若 $f$ 为等式关系，称其为 双面约束，可记做：
$f(\bm{r}_i,\bm{v}_i,t)=0$
- 若 $f$ 为不等式关系，称其为 单面约束：
$f(\bm{r}_i,\bm{v}_i,t)>0$
$f$ $f$ 是否含时
- $f$ 不含时，为 定常约束
- $f$ 含时，为 非定常约束
$f$ $f$ 是否含速度
- $f$ 不含速度，为 几何约束
- $f$ 含速度，为 微分（运动）约束

如果这些约束方程都是可积的（即没有不可积的微分约束），那么称这个系统是 完整的。若存在不可积的微分约束，那么称这个系统是 非完整的 $^{[1]}$ 。

举例：

二维空间中的纯滚动

纯滚动条件是一个完整的微分约束：

$dx-Rd\theta=0$

由此可以积分得到一个几何约束：

$x=R\theta+C$

在这个约束下，每一个位置都有一个确定的角度。

三维空间中的纯滚动

纯滚动条件是一个不完整的微分约束。
很容易发现，一个球可以通过任意的路径回到原点，因此同样的位置对应的角量不一定相同。这个微分约束不可积，该系统是不完整的。

几何约束与微分约束在无限小运动的意义下是一致的，对于一个几何约束：

$f(\bm{r}_i,t)=0$

的无限小运动情况：

$\sum_{i}\nabla_i f\cdot\delta\bm{r}_i+\frac{\partial f}{\partial t} \delta t = 0$

得到：

$\sum_{i}\nabla_i f\cdot \bm{v}_i+\frac{\partial f}{\partial t}= 0$

这成为一个速度约束。反之，线性的速度约束也可化为一个无限小运动的几何约束。

在考虑约束之后，运动就不再自由了，而是满足这些约束方程。不受力时自由运动的质点在约束下不自由了，那么必然受到 约束力 的作用。质点有破坏约束使约束实体发生形变的趋势，因为力的方向与这种趋势相反，我们也常常称其为 约束反力。现考虑一个定常几何约束：

$f(\bm{r})=0$

该约束使得质点 $P$ 被限制在曲面 $f(\bm{r})=0$ 上运动。易得，沿着曲面切向的运动是不受约束的，此时约束力方向为曲面的法向方向。

$\bm{N}\propto \nabla\bm{f}$

可记作：

$\bm{N}= \lambda \nabla\bm{f}$

自由度

在力学里，自由度 指的是力学系统的 独立坐标 的个数。力学系统由一组坐标来描述。三维空间中自由运动的质点的自由度为3。对于 有限运动 来说，完整约束会降低自由度：

$S = 3N - m$

$S$ 为自由度， $N$ 为质点数， $m$ 为完整约束个数。

在无限小运动情况下，某些非完整约束也能够降低系统的自由度。例如：线性速度约束能够化为一个无限小的几何约束，在小尺度上是‘完整’的。

举例

相对距离固定的两质点。

$S = 2\times 3 -1 = 5$

刚体。刚体内不共线的三个质点就能够完全确定刚体位形：

$S = 3\times 3 -3 = 6$

纯滚球
$z$ 方向的约束为几何约束，纯滚约束是一个线性速度约束。在有限运动意义下：

$S = 6 - 1 = 5$

在无限小运动意义下：

$S = 6 - 2 = 4$

广义坐标

在分析力学中，广义坐标 是只能够描述（唯一确定）系统位形的一组参数 $^{[2]}$ 。之前我们介绍过坐标，在一个给定的参考系中，我们可以赋予其坐标结构，那么我们就能够用坐标参量去确定点的位置。

对于空间直角坐标系， $x,y,z$ 三个长度参量，指示了在三个方向上的位置。
对于球坐标系，我们引入了 $\theta,\varphi$ 两个角量，来表示角位置。

广义坐标的第一层意思是对坐标的概念进行拓展。我们不必拘泥于坐标系，只要最终选择的一组广义坐标能够完整的描述系统就可以了。对于一个自由度为 $S$ 的系统，则存在 $S$ 个独立的广义坐标 $\{q_{\alpha}\}$ 。

例如对于双摆系统，自由度为 $2$ ，可取广义坐标为： $\theta_1,\theta_2$ 。这样选取的坐标自动满足了约束。

如果选取的广义坐标数大于自由度的数量，必须要对其中的约束进行考虑，对动力学方程进行修正。虽然这样做引入了较多的广义坐标，但有时候方程形式会比较简单（特别是约束关系难以用显式表示时）；若要求解约束力，解除对应的约束，引入相关的广义坐标是很必要的。例如，在求解杆 $2$ 的作用力时，需要选取广义坐标为 $\theta_1,\theta_2,l_2$ 。我们会在之后进行介绍。

虚功原理

在介绍达朗贝尔原理之前，首先要了解静力学中的 虚功原理

在静力学中，施加于某物体的作用力，对于给定的 虚位移 ，所做的机械功，称为虚功。

什么是虚位移呢？一方面，虚位移就是不真实的位移，是我们假象出来的，是不会真实发生的。我们记做 $\delta\bm{r}$ 。另一方面，虚位移是在满足约束的条件下任意选取的可能位移，是一个 自变量 $^{[3]}$ 。

对于一个静力学系统，也就是说所有的坐标都不随时间变化。观察在给出虚位移 $\delta \bm{r}$ 后，各个力的做功情况和体系的能量变化：
设体系的能量为 $E(\bm{r}_1,\bm{r}_2\cdots,\bm{r}_N)$ ，这表示体系的总能量完全由体系中各个粒子的坐标决定，考虑能量变化：