广义相对论的数学基础（七）：特殊张量

特殊张量

Kronecker 张量

张量的反对称化
反对称化将一个一般类型的 $(0,s)$ -型张量变成一个 $(0,s)$ -型全反对称张量。因此我们可以建立一个映射：

$T^0_s (X) \rightarrow \Lambda_ s (X) \subset T^0_s (X),T_{a_1 \cdots a_s} \mapsto T_{[a_1 \cdots a_s]}$

显然这个映射是线性的，因此它对应于一个 $(s,s)$ -型张量，可记为 $\overset{s}{\delta}$ 若用抽象指标它可以表示如下形式

$\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}$

有

$T_{[a_1 \cdots a_s]}=\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}T_{b_1 \cdots b_s}$

如此容易看出 $\overset{s}{\delta}$ 具有性质： $\overset{s}{\delta}\circ\overset{s}{\delta}=\overset{s}{\delta}$ 。用抽象指标形式表示为：

$\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{c_1\cdots c_s}\overset{s}{\delta}{}_{c_1\cdots c_s}^{b_1\cdots b_s} = \overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}$

利用 $\overset{s}{\delta}$ 的定义可得：

$\overset{s}{\delta}{}_{[a_1\cdots a_s]}^{b_1\cdots b_s} = \overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}$

考虑 $\delta_{a}^{\ \ b}$ 对 $\overset{s}{\delta}$ 的作用可得：

$\begin{aligned} \overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} &= \overset{s}{\delta}{}_{c_1\cdots c_s}^{b_1\cdots b_s} \delta_{a_1}^{\ \ c_1}\cdots\delta_{a_s}^{\ \ c_s}\\ &=\delta_{[a_1}^{\ \ b_1}\cdots\delta_{a_s]}^{\ \ b_s}\\ &=\frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi)\delta_{a_{\pi(1)}}^{\ \ b_1}\cdots\delta_{a_{\pi(s)}}^{\ \ b_s}\\ &=\frac{1}{s!}\begin{vmatrix} \delta_{a_1}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}$

$\delta{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}$ 称为 $s$ -阶 Kronecher 张量，定义为

$\delta{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}=\begin{vmatrix} \delta_{a_1}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}$

有

$\overset{s}{\delta}{}_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}=\frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}$

这样一个张量的反对称化可以用 Kronecker 张量表示为：

$T_{a_1\cdots a_s} \mapsto T_{[a_1\cdots a_s]} = \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}T_{b_1\cdots b_s}$

由以上讨论，我们发现 Kronecker 张量满足如下性质：

$\begin{aligned} &\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} = \delta_{[a_1\cdots a_s]}^{b_1\cdots b_s}\\ & \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}\delta_{b_1\cdots b_s}^{c_1\cdots c_s} = \delta_{a_1\cdots a_s}^{c_1\cdots c_s}\\ &\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} = s!\delta^{b_1}_{[a_1}\cdots \delta^{b_s}_{a_s]} \end{aligned}$

不难发现，Kronecker 张量也能够将任意 $(s,0)$ -型张量反对称化，按照相同逻辑，我们能够发现 Kronecker 张量满足：

$\begin{aligned} &\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s} = \delta_{a_1\cdots a_s}^{[b_1\cdots b_s]}\\ &\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} = s!\delta^{[b_1}_{a_1}\cdots \delta^{b_s]}_{a_s} \end{aligned}$

可以证明 Kronecker 张量满足如下恒等式：

$\frac{1}{s!}\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} \delta_{b_1\cdots b_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}} = \delta_{a_1\cdots a_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}$

证明：

$\begin{aligned} \frac{1}{s!}\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s} \delta_{b_1\cdots b_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}} &= \frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) \delta_{a_{\pi(1)}}^{b_1}\cdots\delta_{a_{\pi(s)}}^{b_s}\delta_{b_1\cdots b_sa_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ &= \frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi) \delta_{a_{\pi(1)}\cdots a_{\pi(s)}a_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ &= \delta_{[a_{1}\cdots a_{s}]a_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ &= \delta_{a_{1}\cdots a_{s}a_{s+1}\cdots a_{s+q}}^{c_1\cdots c_sc_{s+1}\cdots c_{s+q}}\\ \end{aligned}$

Kronecker 张量的缩并为：

$\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1}\cdots \delta_{b_r}^{a_r} = \frac{(n-s+r)!}{(n-s)!}\delta_{a_{r+1}\cdots a_s}^{b_{r+1}\cdots b_s} \end{aligned}$

其中 $r<s$ ， $n$ 是线性空间 $X$ 的维数。当 $r = s$ 时，可得：

$\delta^{a_1\cdots a_s}_{a_1\cdots a_s} = \frac{n!}{(n-s)!}$

证明：
不妨先来看上式的简单情形，当 $r = 1$ 时，我们要证明：

$\delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1} = (n-s+1)\delta_{a_{2}\cdots a_s}^{b_{2}\cdots b_s}$

可以得到右边为：

$\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1} &= \delta{}_{a_1\cdots a_s}^{a_1\cdots b_s}\\ &=\begin{vmatrix} \delta_{a_1}^{\ \ a_1} & \delta_{a_1}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \delta_{a_2}^{\ \ a_1} & \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_2}^{\ \ b_s}\\ \vdots& \vdots& & &\vdots\\ \vdots& \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ a_1} &\delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots&\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}\\ &= \delta_{a_1}^{\ \ a_1}\begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix} - (s-1) \delta_{a_1}^{\ \ b_2}\begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ a_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_2}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ a_1} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}\\ &= n\begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_1}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix} - (s-1) \begin{vmatrix} \delta_{a_2}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_2}^{\ \ b_s}\\ \vdots& & &\vdots\\ \vdots& & &\vdots\\ \delta_{a_s}^{\ \ b_2} &\cdots &\cdots& \delta_{a_s}^{\ \ b_s}\\ \end{vmatrix}\\ &= (n-s+1)\delta^{b_2\cdots b_s}_{a_2\cdots a_s} \end{aligned}$

如此可以递推得到：

$\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_s}_{a_1\cdots a_s}\delta_{b_1}^{a_1}\cdots \delta_{b_r}^{a_r} = \frac{(n-s+r)!}{(n-s)!}\delta_{a_{r+1}\cdots a_s}^{b_{r+1}\cdots b_s} \end{aligned}$

上述证明实际上应用了 Kronecker 张量的拉普拉斯展开：

${\delta}{}^{aa_1\cdots a_s}_{bb_1\cdots b_s}={\delta}{}^{a}_{b}{\delta}{}^{a_1\cdots a_s}_{b_1\cdots b_s}-\sum_{i=1}^s(-1)^i {\delta}{}^{a}_{b_i}{\delta}{}^{a_1\cdots a_{i-1}a_ia_{i+1}\cdots a_s}_{b_1\cdots b_{i-1}bb_{i+1}\cdots b_s}$

设 $A_a^b$ 是一个 $(1,1)$ -型张量，则我们可以定义一个关于 $A_a^b$ 的
标量

$\det A =\frac{1}{n!} \delta^{a_1 \cdots a_n}_{b_1 \cdots b_n}A_{a_1}^{\ \ b_1}\cdots A_{a_n}^{\ \ b_n}$

选取基底后成为：

$\det A =\frac{1}{n!} \delta^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_n}A_{i_1}^{\ \ j_1}\cdots A_{i_n}^{\ \ j_n}$

其中 $\delta^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_n}$ 为 Kronecker 张量在给定基底下的分量。因此标量 $\det A$ 是将 $A_a^{\ \ b}$ 看作一个 $n\times n$ 矩阵对应的行列式。

Levi-Civita 张量

设 $n$ -维度线性空间 $X$ 的基为 $\{(e_i)^a\}$ 和其对偶基 $\{(e^{*i})_a\}$ ，则对任意一个 $(0,s)$ -型反对称张量 $x$ 可以表示为：

$x_{a_1\cdots a_s} = \frac{1}{s!}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{a_1}\land \cdots \land(e^{*i_s})_{a_s}$

另外利用 Kronecker 张量，可以将其表示为：

$\begin{aligned} x_{[a_1 \cdots a_s]} &= \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}x_{b_1\cdots b_s}\\ &= \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}x_{i_1\cdots i_s}(e^{*i_1})_{b_1}\cdots (e^{*i_s})_{b_s}\\ \end{aligned}$

对比以上两式子，可以将 $\Lambda_s(X)$ 的基写为：

$(e^{*i_1})_{a_1}\land \cdots \land(e^{*i_s})_{a_s} = \delta_{a_1\cdots a_s}^{b_1\cdots b_s}(e^{*i_1})_{b_1}\cdots (e^{*i_s})_{b_s}$

特别的，由于 $\Lambda_n (X)$ 是 $1$ -维的，它的基可以表示为：

$\begin{aligned} e_{a_1\cdots a_n}&=(e^{* 1})_ {a_1}\land\cdots\land(e^{* n})_ {a_n}\\ &=\delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}(e^{* 1})_ {c_1}\cdots(e^{* n})_ {c_n} \end{aligned}$

$Λ_n (X)$ 的基可以表示为：

$\begin{aligned} e^{* a_1\cdots a_n}&=(e_{ 1})^ {a_1}\land\cdots\land(e_{ n})^ {a_n}\\ &=\delta^{a_1\cdots a_n}_{c_1\cdots c_n}(e_{ 1})^{c_1}\cdots(e_{ n})^ {c_n} \end{aligned}$

可以得到：

$e_{a_1\cdots a_n}e^{*b_1\cdots b_n} = \delta_{a_1\cdots a_n}^{b_1\cdots b_n}$

证明：

$\begin{aligned} e_{a_1\cdots a_n}e^{*b_1\cdots b_n} &= \delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}(e^{* 1})_ {c_1}\cdots(e^{* n})_ {c_n} \delta^{b_1\cdots b_n}_{d_1\cdots d_n} \frac{1}{s!}\sum_{\pi} \mathrm{sign}(\pi) (e_{\pi(1)})^{d_1}\cdots (e_{\pi(n)})^{d_n}\\ &= \frac{1}{s!}\sum_{\pi}\mathrm{sign}(\pi)\delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}\delta^{b_1\cdots b_n}_{d_1\cdots d_n} (\delta^{1}_{\pi(1)})^{d_1}_{c_1}\cdots(\delta^{n}_{\pi(n)})^{d_n}_{c_n}\\ &= \frac{1}{s!}\delta_{a_1\cdots a_n}^{c_1\cdots c_n}\delta^{b_1\cdots b_n}_{c_1\cdots c_n} = \delta_{a_1\cdots a_n}^{b_1\cdots b_n}\\ \end{aligned}$

因为 $\Lambda_n(X)$ 是 $1$ -维的，任意一个 $n$ -形式 $x_{a_1\cdots a_n} = x_{[a_1\cdots a_n]}$ 都可以表示为如下形式：

$x_{a_1\cdots a_n} = \lambda e_{a_1\cdots a_n},\quad \lambda \in \mathbb{K}$

其分量可以表示为：

$x_{i_1\cdots i_n} = \lambda e_{i_1\cdots i_n}$

容易得到分量 $e_{i_1\cdots i_n}$ 的取值为 $+1,-1,0$ ，取决于 $(i_1,\cdots,i_n)$ 为 $(1,\cdots,n)$ 偶排列，奇排列或其他。因此 $x_{i_1\cdots i_n}$ 的值为 $\lambda,-\lambda,0$ 。

反对称张量 $\{e_{a_1 \cdots a_n}\}$ 和 $\{e^{* a_1 \cdots a_n}\}$ 分别称为在基 $\{(e_i )^a \}$ ， $\{(e^{ *i} )_a \}$ 下的 Levi-Civita 张量 和 逆变 Levi -Civita 张量。

Levi-Civita 张量继承了 Kronecker 张量的一些性质：

$\begin{aligned} e_{a_1\cdots a_r a_{r+1}\cdots a_n} e^{*a_1\cdots a_r b_{r+1}\cdots b_n} &= \delta_{a_1\cdots a_r a_{r+1}\cdots a_n}^{a_1\cdots a_r b_{r+1}\cdots b_n}\\ &= r! \delta_{a_{r+1}\cdots a_n}^{b_{r+1}\cdots b_n}\\ \end{aligned}$

以及：

$\begin{aligned} \delta^{b_1\cdots b_n}_{a_1\cdots a_n}e_{b_1\cdots b_n} &= \delta^{b_1\cdots b_n}_{a_1\cdots a_n}\delta^{c_1\cdots c_n}_{b_1\cdots b_n}(e^{*1})_{c_1}\cdots(e^{*n})_{c_n}\\ &= n! \delta^{c_1\cdots c_n}_{a_1\cdots a_n}(e^{*1})_{c_1}\cdots(e^{*n})_{c_n}\\ &= n!e_{a_1\cdots a_n}\\ \end{aligned}$

还有与矩阵行列式的关系：

$\begin{aligned} \det A &= \frac{1}{n!} \delta^{a_1 \cdots a_n}_{b_1 \cdots b_n}A_{a_1}^{\ \ b_1}\cdots A_{a_n}^{\ \ b_n}\\ e_{a_1\cdots a_n}\det A &= e_{b_1\cdots b_n}A_{a_1}^{\ \ b_1}\cdots A_{a_n}^{\ \ b_n}\\ \end{aligned}$

考虑基底的变换 $e_i\rightarrow \tilde{e}_i=A_i^{\ \ k}e_k,e^{* i}\rightarrow(A^{-1})_ {k}^{\ \ i}e^{* k}$ ，得到 Levi-Civita 张量分量的变换为：

$\begin{aligned} &e^{* i_1\cdots i_n}=(\det A)\tilde{e}^{* i_1\cdots i_n}\\ &e_{ i_1\cdots i_n}=(\det A^{-1})\tilde{e}_{ i_1\cdots i_n}\\ \end{aligned}$