理论力学笔记（五）：有心力

在上篇介绍完拉格朗日方程之后，我们希望用拉格朗日力学的方法对经典力学中的问题做一些讨论。我们将分三篇分别处理有心力、微振动、刚体运动相关问题。本篇介绍有心力。有心力是很常见的，大多数两体的相互作用力是沿着两点连线方向的，这种相互作用就是有心力。常见的有心力有万有引力、库仑力、胡克力等。本篇在介绍完有心力的一般理论后，将考虑开普勒问题。

有心力的一般理论

有心力，从字面意思上理解，就是作用力始终指向力心的力。

$\bm{F} = F\hat{\bm{r}}$

若一个质点只受到有心力作用，那么该质点的角动量守恒：

$\begin{aligned} \frac{d\bm{L}}{dt} &= \bm{r}\times\bm{F}\\ &= F \bm{r}\times \hat{\bm{r}}\\ &=0\\ \end{aligned}$

若有心力是保守的，那么存在势能 $V$ ，使得：

$\begin{aligned} \bm{F} &= -\nabla V\\ &= -(\hat{\bm{r}}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\bm{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\bm{\varphi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} ) V(r,\theta,\varphi) \end{aligned}$

由有心力的性质可得， $V$ 不依赖于 $\theta,\varphi$ ；即该势能为 有心势，综合得到：

$V = V(r);\quad \bm{F} = F(r)\hat{\bm{r}} = -\frac{\partial V(r)}{\partial r}\hat{\bm{r}}$

反之，若有心力 $F$ 仅仅依赖于 $r$ 的大小，那么构造出一个有心势是容易的， $\bm{F}$ 当然是保守的。

我们发现 $\bm{F}$ 不仅方向为径向，而且大小仅仅依赖于到力心的距离。同时，还有一些有心力大小依赖于其他坐标，例如单摆中绳的张力依赖于角位移 $\theta$ 。物理学中的有心力常常指的是前一种，即一个“强版本”的有心力，以下我们在提到有心力时，也默认为是“强版本”的。

有效势

考虑一个质点在有心势 $V(r)$ 中运动，由于 角动量守恒，质点必定在一个平面内运动。我们在这个平面内取极坐标，写出质点的拉格朗日量：

$L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)$

由于拉格朗日量不显含 $\theta$ ，可得：

$l = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta} = \mathrm{const}$

其中 $l$ 为角动量，上式即为角动量守恒。我们利用 $l$ 对拉格朗日函数做代换：

$L = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{l^2}{2mr^2}-V(r)$

而哈密顿量（能量）为：

$H = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{l^2}{2mr^2}+V(r)$

考虑到后面两项仅仅依赖于 $r$ ，我们将其总称为 有效势：

$V_{\mathrm{eff}} = V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}$

可以得到质点径向运动方程为：

$m\ddot{r} = -\frac{dV_{\mathrm{eff}}(r)}{dr}$

质点的径向运动模式是由有效势决定的。若 $r\rightarrow \infty$ 时， $V(r)\rightarrow 0$ ，根据有效势的大小可判断运动状态：

$V_{\mathrm{eff}} < 0$ ：束缚态
$V_{\mathrm{eff}} > 0$ ：散射态

根据有效势的一阶导数可判断径向运动的方向：

$\frac{dV_{\mathrm{eff}}}{dr} > 0$ ：半径减小
$\frac{dV_{\mathrm{eff}}}{dr} < 0$ ：半径增加

根据有效势的二阶导数可判断轨道的稳定性：

$\frac{d^2V_{\mathrm{eff}}}{dr^2} > 0$ ：稳定
$\frac{d^2V_{\mathrm{eff}}}{dr^2} < 0$ ：不稳定

比内公式

对于有心运动，一般的 $\rho(t)$ 可以由下式给出：

$t - t_0 = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d\rho}{\sqrt{E-V_{\mathrm{eff}}}}$

考虑到角动量守恒，即可得 $h=\rho^2\dot{\varphi}$ 守恒，于是可以求得 $\varphi(t)$ ：

$\varphi(t)-\varphi(t_0) = \int_{t_0}^{t} \frac{hdt}{\rho(t)^2}$

如果我们只关心运动的轨道，有更简单的方法求解：

有心运动拉格朗日量为：

$\begin{aligned} L &= \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2 + \frac{h^2}{\rho^2}) - V(\rho)\\ &=\frac{1}{2}m((\frac{d\varphi}{dt}\frac{d\rho}{d\varphi})^2 + \frac{h^2}{\rho^2}) - V(\rho)\\ &=\frac{1}{2}m(\dot{\varphi}^2(\frac{d\rho}{d\varphi})^2 + \frac{h^2}{\rho^2}) - V(\rho)\\ &=\frac{1}{2}m(\frac{h^2}{\rho^4}(\frac{d\rho}{d\varphi})^2 + \frac{h^2}{\rho^2}) - V(\rho)\\ \end{aligned}$

作代换 $u = \frac{1}{r}$ ：

$L = \frac{1}{2}mh^2((\frac{du}{d\varphi})^2 + u^2) - V(u^{-1})$

体系能量为：

$E = \frac{1}{2}mh^2((\frac{du}{d\varphi})^2 + u^2) + V(u^{-1}) \quad(*)$

两边对 $\varphi$ 求导，容易得到：

$mh^2u^2(\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u) + F =0 \quad(*)$

上述 $(*)$ 两式分别将势能和力与轨道方程联系起来，被称为 比内公式。

轨道的闭合性

根据上一节刚开始的讨论，容易得到角度随时间关系的形式解：

$\varphi =\int\sqrt{\frac{m}{2}} \frac{hd\rho}{\rho^2\sqrt{E-V_{\mathrm{eff}}}}$

考虑从 $\rho_{min}$ 运动到 $\rho_{max}$ ，再回到 $\rho_{min}$ 所转动的角度：

$\Delta \varphi = 2\int_{\rho_{min}}^{\rho_{max}}\sqrt{\frac{m}{2}} \frac{hd\rho}{\rho^2\sqrt{E-V_{\mathrm{eff}}}}$

选取如下形式的中心势场：

$V(r) = kr^{\alpha}$

我们接下来讨论如何何种幂次的中心势能使得轨道是闭合的。例如，如下图所示， $F\propto\frac{1}{r^2},\alpha=2$ 对应的轨道是闭合的，其他两种情况的轨道不是闭合的。其在每次公转的同时发生进动。对于闭合的轨道，有：

$\Delta \varphi = 2q\pi,\quad q\in\mathbb{Q}$

Fig：不同幂次
对应的轨道 $^{[1]}$

首先我们对圆轨道进行讨论，有效势能为：

$V_{\mathrm{eff}} = kr^\alpha + \frac{mh^2}{2r^2}$

设圆形轨道半径为 $\rho_0$ ，其必定对应有效势的极值点：

$V'_{\mathrm{eff}}(\rho_0) = \alpha k\rho_0^{\alpha-1} - \frac{mh^2}{\rho_0^3} = 0,\quad \alpha k >0$

得到：

$\rho_0 = (\frac{mh^2}{\alpha k})^{\frac{1}{\alpha+2}}$

如果这个圆轨道是稳定的，那么要求二阶导数大于零：

$\begin{aligned} V''_{\mathrm{eff}}(\rho_0) &= \alpha(\alpha-1) k\rho_0^{\alpha-2} + \frac{3mh^2}{\rho_0^4} \\ &=\alpha(\alpha+2)k\rho_0^{\alpha-2}>0\\ \end{aligned}$

立即得到： $\alpha>-2$ 。

那么一般的情况呢？是否一定存在闭合的轨道呢？这个问题由 Bertrand 定理 给出：只有当 $V =−kr^{−1}$ （开普勒问题）或 $V = kr^2$ （胡克问题），轨道才一定闭合 $^{[2]}$ 。

接下来，我们对这个问题进行简单讨论。首先考虑对圆轨道的一个径向扰动（无穷小），封闭轨道必须要求这个圆轨道是稳定的，并且径向振动角频率与圆周运动频率满足如下关系：

$q\omega_r = \dot{\varphi},\quad q\in\mathbb{Q}$

其中 $\omega_r,\dot{\varphi}$ 分别为：

$\begin{aligned} \omega_r&=\sqrt{\frac{V''_{\mathrm{eff}}}{m}} = \sqrt{\frac{\alpha(\alpha+2)k\rho^{\alpha-2}_0}{m}}\\ \dot{\varphi} &= \frac{h}{\rho_0^2}\\ \end{aligned}$

由以上三式可得到：

$\alpha = q^{-2}-2,\quad q\in\mathbb{Q}$

当径向扰动不可当做无穷小时，考虑轨道半径取极值的条件，此处作代换 $u = r^{-1}$ ：

$\frac{2E}{mh^2}-\frac{2V(u)}{mh^2}-u^2=0$

由此可以将一些参数用两个极值点 $u_1,u_2$ 表示：

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{2E}{mh^2}=\frac{u_1^2V_2-u_2^2V_1}{V_2-V_1} \\ &-\frac{2}{mh^2}=\frac{u_2-u_1}{V_2-V_1}\\ \end{aligned} \right.$

由此，可以重新改写得到从极值点 $u_1$ 到 $u_2$ ，再回到 $u_1$ 的过程中转过的角度：

$\begin{aligned} \Delta \varphi &= 2\int_{u_1}^{u_2}\frac{du}{\sqrt{\frac{2E}{mh^2}-\frac{2V}{mh^2}-u^2}} \\ &=2\int_{u_1}^{u_2}\frac{\sqrt{V_2-V_1}du}{\sqrt{(u_1^2V_2-u_2^2V_1)+(u_2^2-u_1^2)V(u)-u^2(V_2-V_1)}} \end{aligned}$

那么封闭轨道就要求上述积分必须等于 $2\pi q$ 。考虑到 $E,h,u_1,u_2,V_1,V_2$ 是连续变量，其连续的变化必定导致积分结果的连续性。因此，我们得到积分结果应当是与这些连续变量没有关系的。我们取一组值来计算积分，看对幂指数 $\alpha$ 是如何限制的。特殊的，我们选取从无穷远点开始运动的粒子，在势场作用后，又达到无穷原点的散射问题，我们作如下分类讨论：

$q^{-2}-2>0$
此时 $u_2=0$ 时 $ V_2\rightarrow\infty$，不妨取 $u_1=1$ 。有：

$\begin{aligned} \Delta \varphi &= 2 \int_{1}^{0} \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\\ &= -\pi =2q\pi \end{aligned}$

可得 $q = -\frac{1}{2}$ 。此时 $V = kr^2$ 。

$q^{-2}-2<0$
此时 $u_1=0$ 时 $ V_1\rightarrow 0$，不妨取 $u_2=1$ 。有：

$\begin{aligned} \Delta \varphi &= 2 \int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{u^{2-q^{-2}}-u^2}}\\ &= 2q^2\pi = 2q\pi \end{aligned}$

可得 $q = 1$ 。此时 $V = k/r$ 。

开普勒问题

万有引力的引力势能具有以下形式：

$U = - \frac{k}{r},k>0$

根据我们之前所讨论的，假使质点在这种形式的势场中运动，其轨道将是完全闭合的。我们接下来对这种运动的性质做更详细的讨论。

轨道问题

由比内公式可得：

$mh^2 u^2 (\frac{d^2 u}{d\varphi^2}+u)-ku^2=0$

容易求得：

$u = A\cos(\varphi+\varphi_0) + \frac{k}{mh^2}$

容不难看出，上式为一个圆锥曲线的极坐标方程。我们使用圆锥曲线的参量 $e,p$ 来代入上述方程：

$u = \frac{1+e\cos(\varphi+\varphi_0)}{p}$

或：

$\rho = \frac{p}{1+e\cos(\varphi+\varphi_0)}$

可以得到：

$p = \frac{mh^2}{k},\quad e =\sqrt{1+\frac{2mh^2E}{k^2}}$

以及圆锥曲线的半长轴与半短轴：

$\begin{aligned} & a =\frac{p}{1-e^2} = \frac{k}{2|E|}\\ & b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \sqrt{\frac{mh^2}{2|E|}} \end{aligned}$

做一些分类讨论：

$e=0$
对应的 $E$ 取最小值（固定角动量时），此时轨道为圆。
$1 > e >0$
对应的 $E<0$ ，此时轨道为椭圆。

求出椭圆面积，利用开普勒第二定律，可以很方便的求出运动周期。

$e = 1$
对应的 $E=1$ ，此时轨道为抛物线。
$e >1$
对应的 $E>0$ ，此时轨道为双曲线中的一支。

运动轨道的时间依赖

对于椭圆轨道，质点运动对时间的依赖由下式积分给出：

$\begin{aligned} t&= \sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{d\rho}{\sqrt{E-V_{\mathrm{eff}}}}\\ &=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{d\rho}{\sqrt{E+\frac{k}{\rho}-\frac{mh^2}{2\rho^2}}}\\ &=\sqrt{-\frac{m}{2E}} \int\frac{\rho d\rho}{\sqrt{-\rho^2 - \frac{k}{E}\rho + \frac{mh^2}{2E}}}\\ &=\frac{b}{|h|} \int \frac{\rho d\rho}{\sqrt{-\rho^2+2a\rho - b^2}}\\ &=\frac{b}{|h|} \int \frac{\rho d\rho}{\sqrt{a^2e^2-(r-a)^2}}\\ \end{aligned}$

自然地，我们作代换 $r - a = -ae\cos\xi$ $^{[3]}$ 。容易得到，上式的积分为：

$t = \frac{b}{|h|} (\xi - e\sin\xi)$

对于双曲线，有类似的计算，得到：

$r = a(e\ch \xi-1),\quad t =\frac{b}{|h|}(e\sh\xi -\xi)$

对于抛物线：

$r = a(e\ch \xi+1),\quad t =\frac{b}{|h|}(e\sh\xi +\xi)$

Laplace-Runge-Lenz 矢量

Fig:Laplace-Runge-Lenz 矢量 $^{[4]}$

在场 $U = -\frac{k}{r}$ （ $k$ 符号任意）中运动时，有一种该场所特有的运动积分。

考虑以下矢量：

$\bm{A} = \bm{p} \times \bm{L} − mk\hat{\bm{r}}$

可得：

$\begin{aligned} \frac{d\bm{A}}{dt}&=\frac{d\bm{p}}{dt}\times\bm{L} -mk\frac{d\hat{\bm{r}}}{dt}\\ &=(-\frac{k\hat{\bm{r}}}{r^2})\times\bm{L} -mk(\bm{\omega}\times \hat{\bm{r}})\\ &=(-\frac{k\hat{\bm{r}}}{r^2})\times\bm{L} -\frac{k}{r^2}(\bm{L}\times \hat{\bm{r}})\\ &=0\\ \end{aligned}$