β 衰变 是指原子核自发地放出 β 粒子或俘获一个电子而发生的转变。β 粒子是电子与正电子的总称。β 衰变共有三类:
- β− 衰变:放出电子
- β+ 衰变:放出正电子
- 轨道电子俘获:俘获轨道电子。按照俘获电子的类型分为 K 俘获、L 俘获等,一般来说 K 俘获的概率最大。
β 衰变的半衰期分布在 10−2s 至 1018a 的范围内,发射出粒子的能量最大为几个 MeV。在全部周期表的范围内都存在 β 放射性核素。
β 能谱的特点
实验发现,β 衰变放出的 β 射线,其强度随能量的变化为连续分布。通常用来测量 β 能谱的实验装置是 β 磁谱仪。在处理 β 粒子的有关问题时,必须要考虑相对论效应。
考虑 β 粒子在磁场中的行为:
{E2=c2p2+me2c4p=eBρ(1)
在磁谱仪中,B 是设置好的,需要测量 ρ。我们得到 β 粒子的动能为:
T=[c2e2(Bρ)2+me2c4]−mec2(2)
实验测得 β 衰变能谱的一般规律为:
- β 粒子的能量是连续分布的
- 有一确定的最大能量 Em
- 在某一能量处,强度最大
β 谱中的最大能量正好等于衰变能,β 谱中的其他能量都低于衰变能。这产生了一个问题:β 衰变中能量守恒如何满足?对于那些 β 谱中那些小于衰变能的值,少的那部分能量到哪里去了呢?
为了解释 β 衰变中的能量守恒问题,人们提出过一些假说:
-
在 β 衰变中,母核通过 β 衰变跃迁到不同的能级上,然后通过放出 γ 光子回到基态。
这不能解释 β 谱的能级为何是连续的。
-
在 β 衰变中,放出的电子将部分能量传给了轨道电子。
这个观点被实验否认了。使用一个量热器测量封闭空间的 β 衰变的能量变化,若上述观点成立,那么测量得到的能量变化应当等于衰变能,然而实际测量结果为 β 谱的平均值。
以上假说被否定似乎告诉我们在 β 衰变中能量不守恒,然而事实上所有挑战能量守恒的尝试都以失败告终。那么根据假说2的实验结果,应当是部分能量逃逸到了量热器之外。Pauli 在 1930 年到 1933 年提出了中微子假说,认为在 β 衰变的过程中,同时产生了中微子与电子,考虑到 β 衰变的产物有三个,即使衰变能量是量子化的,但 β 能谱可以是连续的,并且中微子与物质的相互作用是很弱的,这也解释了量热器中对 β 衰变能量的测量结果。
下面进行具体介绍中微子。
中微子
中微子质量几乎为零,不带电,使用符号 ν 表示。那么 β− 衰变可以表示为:
X→Y+e+ν
考虑母核动量 pX≈0 的情况,在 β 衰变中,动量守恒与能量守恒可以写为:
{0=pY+pe+pνEd=EY+Ee+Eν(3)
现在在一些极端情况下进行讨论。
- β 粒子和反冲核的动量大小相等方向相反,即 pB=−pY
此时有:
pν=0
对应中微子能量为零,衰变能可写为:
Ed=Eβ+EY+Eν=Eβ+EY(4)
另一方面,有:
EY=2mYpY2=2mYpβ2=2mYc2(Eβ+2mec2)Eβ(5)
对应的衰变能为:
Ed=(1+2mYc2Eβ+2mec2)Eβ=(1+2mRc2Eβ+mRme)Eβ≈Eβ(6)
此时 β 粒子动能大约等于衰变能。
- 中微子和反冲核的动量大小相等方向相反,即 pν=−pY,此时 pβ=0,有:
Eβ=0
因此一般情况下 β 粒子能量是介于上述两种情况之间的。
中微子的性质
根据实验和理论考虑,可以得出中微子的一些基本性质。
-
静止质量 mν
实验测得中微子静止能量的上限为 15eV。在 β 衰变中,静止质量可以看作零,因此,速度接近光速。
-
电荷 qν=0
-
自旋 Iv=21,遵从费米统计
-
磁矩 μ
实验中没有测得中微子的磁矩,其上限不超过 10−6μN
-
螺旋性 H=±1
螺旋性定义为:
H=∣p∣∣σ∣p⋅σ
实验发现有两种中微子:
H=+1 对应反中微子(右旋粒子) νˉ
H=−1 对应中微子(左旋粒子) ν
在 β− 衰变的过程中产生 νˉ,在 β+ 衰变以及轨道电子俘获中放出 ν。
β 衰变的类型及其衰变能
三种 β 衰变可表示为如下:
ZAX→Z+1AY+e−+νˉ(7)
ZAX→Z−1AY+e++ν(8)
ZAX+e−→Z−1AY+ν(9)
首先我们对衰变能进行套路:
Ed=[mX(Z,A)−mY(Z+1,A)−me]c2=[MX(Z,A)−MY(Z+1,A)]c2(10)
忽略了 X,Y 的电子结合能的差异。
如此,只有 MX>MY 时,才能发生 β− 衰变。
Ed=[mX(Z,A)−mY(Z−1,A)−me]c2=[MX(Z,A)−MY(Z+1,A)−2me]c2(11)
如此,只有 MX−MY>2me 时,才能发生 β+ 衰变。
Ed=[mX(Z,A)+me−mY(Z−1,A)]c2−Wi=[MX(Z,A)−MY(Z+1,A)]c2−Wi(12)
上式中 Wi 为电子再子核原子中的结合能,i 代表 K,L,M 等电子壳层,只有 MX−MY>Wi/c2 时,才能发生轨道电子俘获。
由于 K 层电子最靠近原子核,因而 K 俘获的概率最大。但是当 WK/c2>MX−MY>WL/c2 时,此时 K 俘获不可能发生,对应的 L 俘获的概率成为最大,例如 202Pb 和 205Pb。
再发生轨道电子俘获之后,原子的内层电子会缺少一个(例如 K 俘获会导致 K 层的电子数少一个),此时子核原子处于不稳定的激发态,于是邻近的 L 层电子会跃迁到 K 层以填补空位,同时放出 特征 X 射线,其能量为:
hν=WK−WL(13)
K 俘获的另一种伴随粒子是 俄歇电子,当 L 层电子跃迁到 K 层时,可以把能量传递给另一个 L 层电子,使其克服结合能发射出去,其动能为:
Ek=WK−2WL(14)
- 双 β 衰变
双 β 衰变有以下几种类型:
ZAX⟶2β−Z+2AYZAX⟶2β+Z−2AYZAX⟶2β+εZ−2AYZAX⟶2εZ−2AY(15)
双 β 衰变实际发生的概率很小。
β 衰变基本理论
β 衰变费米理论
在中微子假说提出不久,费米基于中微子假说和实验事实建立了 β 衰变理论,成功解释了实验上所观察到的 β 谱的形状、半衰期和能量的关系。后来的理论与费米理论的基本思想是一样的。
费米认为,β 衰变的本质在于原子核中中子和质子的互相转变,在跃迁过程中放出电子和中微子。β 粒子与中微子是跃迁的产物,事先并不存在于核内。类比原子发光,费米提出 β 衰变是中微子场与原子核相互作用的结果,这是一种弱相互作用。
严格的对 β 衰变概率的推导需要量子场论,这里仅仅作一个示意性的推导。根据量子力学微扰论,单位时间内发射动量在 p 到 p+dp 间的 β 粒子的概率为:
I(p)dp=ℏ2π∣∫ψf∗Hψidτ∣2dEdn(16)
其中 ψi 为母核的波函数 ui。ψf 为终态波函数,存在三个粒子:子核,β 粒子,中微子,设其波函数分别为 uf,ϕβ,ϕν。它们之间的相互作用很弱,那么有:
ψf=ufϕβϕν
dEdn 为态密度,H 为 β 相互作用的哈密顿量。
在费米理论中,简单假定 H 为一个常量 g,我们称为 弱相互作用常量。于是 (16) 式可写为:
I(p)dp=ℏ2πg2∣∫uf∗ϕβ∗ϕν∗uidτ∣2dEdn(17)
我们假定末态粒子间的相互作用很弱,可以近似的把 β 粒子和中微子看作自由粒子,并且以平面波来描写它们:
ϕβ∗=V−1/2exp(−ikβ⋅r)ϕν∗=V−1/2exp(−ikν⋅r)(18)
采用箱归一化,其中 V 为归一化体积。
将 (18) 代入 (17) 得到:
I(p)dp=ℏV22πg2∣Mif∣2dEdn(19)
其中 Mif=∫uf∗uiexp(−i(kβ+kν))dτ 为跃迁矩阵元。
按照量子统计理论,β 粒子和中微子的态密度为:
dnβdnν=(2πℏ)34πp2dpV=(2πℏ)34πpν2dpνV
那么最终的态密度为:
dEdn=dEdnβdnν=4π4ℏ6dEp2pν2dpdpνV2(20)
忽略子核的动能,那么中微子和 β 粒子的能量之和应当等于 β 粒子的最大能量 Em(等于衰变能)。对于某一确定的 β 衰变来说,Em 为常量。那么有:
dEν=−dE
考虑到中微子的静质量 mν≈0,那么有:
dEν=cpν,pν=(Em−E)/c2
代入 (20),得到:
dEdn=4π4ℏ6c3p2(Em−E)2dpV2(21)
最终得到 β 衰变的概率公式:
I(p)dp=2π3ℏ7c3g2∣Mif∣2(Em−E)2p2dp(22)
考虑 (22) 式,跃迁矩阵元 ∣Mif∣ 一般随 β 粒子的变化不剧烈。实际上,β 粒子的动量分布实际上取决于统计因子 (E−Em)2p2,这表现为 I(p) 在两端按抛物线形状趋于零,在中间有一极大值。
上述理论,我们忽略了原子核的库伦场对发射 β 粒子的影响。这种影响对于高原子序数的核发射低能 β 粒子时特别显著。因此,在考虑库伦场的影响之后,我们对式 (22) 乘以一个改正因子 F(Z,E),通常称它为 费米函数,或叫 库仑改正因子。在非相对论近似中,我们考虑用一个简单函数进行代替:
F(Z,E)=1−e−xxx=±137ν2πZc
x 对 β− 衰变取正号,β+ 衰变取负号。考虑库仑改正因子后,β 粒子动量分布的最后表达式为:
I(p)dp=2π3ℏ7c3g2∣Mif∣2F(Z,E)(Em−E)2p2dp(23)
跃迁分类和选择定则
根据跃迁矩阵元的大小,我们将 β 衰变分为:
- 容许跃迁
跃迁矩阵元较大,与轻子的能量、动量无关,仅与原子核的前后状态有关。主要发射 s 波轻子。
- 禁戒跃迁
跃迁矩阵元很小。又分为一级禁戒跃迁(发射 p 波轻子),二级禁戒跃迁(发射 d 波轻子)等等。
容许定则遵从以下选择定则:
{ΔI=0,±1Δπ=1
其中 ΔI,Δπ 分别代表前后原子核的自旋变化(母核自旋与子核自旋之差)与宇称变化(母核宇称与子核宇称之积)。
n 级跃迁的选择定则为:
{ΔI=±(n),±(n+1)Δπ=(−1)n
衰变常量和比较半衰期
萨金特定律
λ=T1/2ln2=∫0pmI(p)dp≈2π3ℏ7me5c4g2∣Mif∣2f(Z,Em)(24)
其中:
f(Z,Em)=∫0pmF(Z,E)(mec2Em−E)(mecp)2mecdp(25)
当 Em≫mec2 时,F(Z,E)≈1。此时根据 (24),(25) 得到:
λ∝Em5
根据 (24) 式,可得:
fT1/2≈me5c4g2∣Mif∣22π3ℏ7ln2(26)
fT1/2 可以用来比较跃迁的级次,称为 比较半衰期。对于同一级次的跃迁,比较半衰期的数量级大致相同。
跃迁级次 |
logfT1/2 |
超容许跃迁 |
2.9∼3.7 |
容许跃迁 |
4.4∼6.0 |
一级禁戒(非唯一型) |
6∼9 |
一级禁戒(唯一型) |
8∼10 |
二级禁戒 |
10∼13 |
三级禁戒 |
15∼18 |
对于容许跃迁来说,(26) 式成为:
fT1/2≈me5c4g2∣M∣22π3ℏ7ln2(27)
M 为原子核矩阵元。它决定于母核与子核的波函数,母核与子核的波函数很像,两者几乎重叠,则 ∣M∣2≈1。需要考虑因不同同位旋态的结合给出附加因子时,∣M∣2 就接近另一个整数,例如 0+⟶0+ 跃迁,有 ∣M2∣≈2。
轨道电子俘获
对于轨道电子俘获来说,原子核只要吸收一个电子,放出一个中微子,此时中微子的能量不是连续的。单位时间内的跃迁概率就等于电子俘获的衰变概率。于是衰变常量可表示为:
λ=ℏ2π∣∫ψf∗H^ψidτ∣2dEνdn(28)
其中,H^ 是相互作用算符。
- 初态波函数 $\psi_i^* $ 可表示为母核波函数与电子波函数的乘积。
- 终态波函数 $\psi_f^* $ 可表示为子核波函数与中微子波函数的乘积。
其中可以近似认为子核波函数与母核波函数近似相等;中微子波函数可以看作平面波;电子波函数为束缚态波函数,对于 K 俘获而言,其就是 K 层电子的波函数:
ψK=π1/21(4πε0ℏ2Zmee2)3/2exp(−4πε0ℏ2Zmee2r)(29)
态密度为:
dEνdn=(2πℏ)3dEν4πpν2dpνV(30)
对于中微子有 Eν=cpν,最后得到:
λk=π2ℏ72me5c4g2(ℏcZe2)3∣M∣2Wν2=2π3ℏ7me5c4g2∣M∣2fK(Z,Wν)(31)
K 俘获概率 λK 与 β+ 衰变概率 λβ+ 之比为:
λβ+λK=4π(ℏcZe2)3f(Z,Em)Wν2(32)
对于轻核来说,衰变能一般较大,β+ 衰变得概率较高。对于重核,则情况相反。对于中等质量的原子,两者往往同时发生。
参考资料
- By Inductiveload - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2859203
- 卢希庭 原子核物理